CHP2-5 雙曲線     班級:             座號:         姓名: 

（　　　）01..雙曲線x² - y² = - 1的焦點坐標為　(A)(0,0)　(B)(±1,0)　(C)(,0)　(D)(0,)　(E)(0, ±1)【課本練習題-自我評量.】

（　　　）02..雙曲線經過( - 1,2)，且其漸近線為x + y = 0與x - y = 0，雙曲線方程式為(A)x² - y² = 0　(B)x² - y² = 1(C)x² - y² = 3(D)y² - x² = 3　(E)x² - y² =【課本練習題-自我評量.】

   解析   令雙曲線為(x + y)(x - y) = k
( - 1,2)代入雙曲線方程式
( - 1 + 2)( - 1 - 2) = k　Þ　k = - 3
故雙曲線方程式為(x + y)(x - y) = - 3　Þ　y² - x² = 3

（　　　）03..下列何者為的漸近線？(A)2x - 3y = 0(B)3x + 2y + 1 = 0(C)3x - 2y + 4 = 0(D)3x + 2y - 3 = 0(E)3x - 2y - 2 = 0【課本練習題-自我評量.】

   解析   令Þ　9x² - 4(y + 1)² = 0Þ　[3x + 2(y + 1)][3x - 2(y + 1)] = 0
Þ　(3x + 2y + 2)(3x - 2y - 2) = 0漸近線為3x + 2y + 2 = 0與3x - 2y - 2 = 0

（　　　）04..方程式2x² - y² - 20x + 6y + 41 = 0的圖形為何？　(A)橢圓　(B)一點　(C)雙曲線　(D)兩條直線　(E)沒有圖形【課本練習題-自我評量.】

   解析   將方程式對x、y配方得
2(x² - 10x + 25) - (y² - 6y + 9) = - 41 + 50 - 9
Þ　2(x - 5)² - (y - 3)² = 0
Þ　[][] = 0
Þ　或圖形為兩條直線

（　　　）05..一雙曲線的兩漸近線為y = - 3x與y = 3x，一頂點為(2 , 0)，則此雙曲線方程式為(A)　(B)(C)　(D)【課本補充題.】

   解析   雙曲線的兩漸近線y = - 3x，y = 3x　Þ　此雙曲線為(y + 3x)(y - 3x) = k
過頂點(2 , 0)代入得(0 + 6)(0 - 6) = k　　∴　k = - 36
∴　(y + 3x)(y - 3x) = - 36　
Þ　y² - 9x² = - 36　Þ　9x² - y² = 36　Þ　

（　　　）06.關於雙曲線9x² - 4y² - 18x - 8y - 31 = 0，下列敘述何者不正確？(A)一頂點為(3 , - 1)(B)貫軸長為6(C)正焦弦長為9(D)一漸近線為3x + 2y - 1 = 0【課本補充題.】

（　　　）07..已知雙曲線兩焦點為( - 1 , 1)及(9 , 1)，又貫軸長為6，則共軛軸長為　(A)4　(B)6　(C)8　(D)10【課本補充題.】

（　　　）08.雙曲線4x² - 16y² + 4x + 16y + 1 = 0之正焦弦長為　(A)4　(B)6　(C)　(D)8【課本補充題.】

   解析   4x² - 16y² + 4x + 16y + 1 = 0
Þ　　
Þ　　Þ　　
Þ　　Þ　，b² = 1
正焦弦長

（　　　）09.以2x + y = 0，2x - y = 0為漸近線，且過點( - 5 ,8)之雙曲線方程式為　(A)2x² - y² = 16　(B)2x² - y² = - 16　(C)x² - 4y² = 64　(D)4x² - y² = 36【課本補充題.】

（　　　）10.雙曲線16x² - 9y² - 64x - 54y - 161 = 0，下列各敘述何者正確？　(A)中心為( - 2 , 3)　(B)焦點為(2 , - 3 ± 5)　(C)共軛軸長為6　(D)4x - 3y - 17 = 0為其一漸近線【課本補充題.】

   解析   原式　Þ　16(x² - 4x + 4) - 9(y² + 6y + 9) = 161 + 64 - 81　
Þ　16(x - 2)² - 9(y + 3)² = 144　Þ　
∴　中心為(2 , - 3)，貫軸長2a = 6，共軛軸長2b = 8
又　Þ　焦點坐標為(h ± c , k) = (2 ± 5 , - 3)
漸近線方程式為
化簡得4x + 3y + 1 = 0及4x - 3y - 17 = 0

（　　　）11.以雙曲線x² - 9y² - 12x - 36y - 9 = 0之中心為圓心，共軛軸長為直徑之圓方程式為　(A)x² + y² - 12x + 4y + 39 = 0　(B)x² + y² - 6x + 2y - 10 = 0　(C)x² + y² - 12x + 4y + 31 = 0　(D)x² + y² + 12x - 4y + 10 = 0【課本補充題.】

（　　　）12.平面上二定點F₁ (7 , 2)、F₂ ( - 5 , 2)，若點P滿足，則P之軌跡方程式為　(A)　(B)　(C)　(D)【課本補充題.】

   解析   F₁ (7 , 2)，F₂ ( - 5 , 2)　Þ　中心

　Þ　P點所成圖形為雙曲線
由　　∴　a = 4　Þ　a² = 16
　　∴　c = 6
由c² = a² + b²　Þ　b² = c² - a² = 36 - 16 = 20
此雙曲線為

（　　　）13.設雙曲線的兩漸近線為x - 2y = 0和x + 2y - 4 = 0，且此雙曲線經過點(10 , 6)，則此雙曲線方程式為　(A)4x² - y² - 8x + 4y - 32 = 0　(B)4x² - y² - 8x + 4y + 4 = 0　(C)x² - 4y² - 4x + 8y + 36 = 0　(D)x² - 4y² - 4x + 8y - 4 = 0【課本補充題.】

（　　　）14.與兩定點(13 , 0)、( - 13 , 0)距離差的絕對值恆為24之所有點之軌跡方程式(A)(B)(C)(D)【課本補充題.】

   解析   兩焦點(13 , 0)與( - 13 , 0)　Þ　中心，貫軸y = 0
2c = 13 - ( - 13) = 26　　∴　c = 13
又2a = 24　Þ　a = 12　Þ　a² = 144
由c² = a² + b²　Þ　b² = c² - a² = 13² - 12² = 25
此雙曲線為

（　　　）15.直角坐標平面上，與點(0 , 6)，(0 , - 6)距離差之絕對值為8的圖形，其正焦弦長為　(A)4　(B)8　(C)10　(D)12【課本補充題.】

   解析   F (0 , 6)，F ' (0 , - 6)　Þ　{C}，2a = 8　Þ　c = 6，a = 4
b² = c² - a² = 36 - 16 = 20　正焦弦長{C}

（　　　）16.坐標平面上，滿足{C}圖形為雙曲線，其共軛軸長為(A)2(B)4　(C)6　(D)8【課本補充題.】

   解析   由定義，兩焦點F (2 , 1)，F ' ( - 1 , 5)
Þ　，2a = 3，，
Þ　　Þ　共軛軸長2b = 4

（　　　）17.雙曲線16(x - 1)² - 9(y + 2)² + 144 = 0，則其焦點坐標為(A)(1 , 3)、(1 , - 7)　(B)(1 , 2)、(1 , - 6)　(C)(4 , - 2)、( - 2 , - 2)　(D)(5 , - 2)、( - 3 , - 2)【課本補充題.】

   解析   16(x - 1)² - 9(y + 2)² + 144 = 0　Þ　9(y + 2)² - 16(x - 1)² = 144
Þ　　Þ　中心為(1 , - 2)，a = 4，b = 3，
∴　焦點為(1 , - 2 ± 5) = (1 , 3)、(1 , - 7)

（　　　）18.已知雙曲線16(x - 1)² - 9(y + 2)² + 144 = 0，其漸近線方程式為　(A)x - 1 = 0，y + 2 = 0　(B)3x + 4y + 5 = 0，3x - 4y - 11 = 0　(C)4x + 3y + 2 = 0，4x - 3y - 10 = 0　(D)沒有漸近線【課本補充題.】

   解析   令16(x - 1)² - 9(y + 2)² = 0　Þ　[4(x - 1)]² - [3(y + 2)]² = 0
Þ　[4(x - 1) + 3(y + 2)][4(x - 1) - 3(y + 2)] = 0
Þ　漸近線方程式為4x + 3y + 2 = 0、4x - 3y - 10 = 0

（　　　）19.雙曲線4x² - y² = 16的敘述何者有誤？(A)(2 , 0)為其頂點　(B)為其焦點　(C)貫軸長為8　(D)正焦弦長為16【課本補充題.】

（　　　）20.以(0 , 3)、(0 , - 3)為頂點，共軛軸長為2的雙曲線方程式為(A)(B)(C)(D)【課本補充題.】

（　　　）21.設A (4 , 0)，B ( - 2 , 0)，若，則所有P點所成的圖形為　(A)圓　(B)拋物線　(C)橢圓　(D)雙曲線【課本補充題.】

（　　　）22.設A (4 , 0)，B ( - 2 , 0)，若，則所有P點所成的圖形的正焦弦長為　(A)5　(B)7　(C)9　(D)10【課本補充題.】

   解析   雙曲線中心為中點　Þ　中心 (1 , 0)
由A (4 , 0)，中心(1 , 0)，得c = 3
又由　Þ　a = 2
b² = c² - a² = 9 - 4 = 5　Þ　
正焦弦長

（　　　）23.若雙曲線的兩焦點為( - 4 , 0)、(6 , 0)及一頂點為(4 , 0)，則下列哪一點在此雙曲線上？(A)　(B)　(C)(5 , 5)　(D)【092年歷屆試題.】

   解析   ∵　兩焦點為F₁ ( - 4 , 0)、F₂ (6 , 0)　Þ　貫軸為x軸，中心為(1 , 0)
又　Þ　c = 5
∵　一頂點為(4 , 0)　Þ　a = 3，即
則雙曲線方程式為
∵　滿足方程式
∴　點在雙曲線上

（　　　）24.下列何者為曲線4y² = (2x + 1)² + 9的漸近線？　(A)　(B)y = 2x - 1　(C)y = 2x + 1　(D)【095年歷屆試題.】

   解析   4y² = (2x + 1)² + 9　Þ　4y² - (2x + 1)² = 9
漸近線為4y² - (2x + 1)² = 0
即(2y)² - (2x + 1)² = 0　Þ　(2y - 2x - 1)(2y + 2x + 1) = 0　
Þ　或
∴　漸近線為與

（　　　）25.若雙曲線H：9x² - 4y² - 72x + 8y + 176 = 0，則下列直線何者是雙曲線H的漸近線？　(A)L₁：2x + 3y - 14 = 0　(B)L₂：2x - 3y + 10 = 0　(C)L₃：3x + 2y - 14 = 0　(D)L₄：3x - 2y + 10 = 0【098年歷屆試題.】

   解析   雙曲線H：9x² - 4y² - 72x + 8y + 176 = 0
Þ　9(x² - 8x + 16) - 4(y² - 2y + 1) = - 176 + 144 - 4
Þ　9(x - 4)² - 4(y - 1)² = - 36　Þ　
雙曲線H的漸近線為
Þ　3x + 2y - 14 = 0與3x - 2y - 10 = 0
故(C)L₃：3x + 2y - 14 = 0為其漸近線

（　　　）26.設雙曲線的兩焦點分別為F( - 3,2)、F¢(5,2)，且此雙曲線過點，則此雙曲線的貫軸長為何？　(A)3　(B)6　(C)7　(D)14【102年歷屆試題.】

DDEDA  BCADD

AACCC  BACCB

DAAAC  B   解析   

貫軸長